یک نقطهٔ ثابت در صفحه، مانند $O$ را در نظر بگیرید و تمام نقاطی را که به فاصلهٔ ثابت $2 \text{ سانتی‌متر}$ از آن هستند در نظر بگیرید. این نقاط چه شکلی را تشکیل می‌دهند؟
مجموعهٔ تمام نقاط در صفحه که از یک نقطهٔ ثابت ($O$) به فاصلهٔ ثابت ($2 \text{ سانتی‌متر}$) باشند، **دایره** را تشکیل می‌دهند. این نقطهٔ ثابت، **مرکز دایره** و فاصلهٔ ثابت، **شعاع دایره** است.
$$\text{شکل حاصل}: \text{دایره}$$
یک دایره به مرکز $O$ و به شعاع $2 \text{ سانتی‌متر}$ بکشید و یک نقطهٔ دلخواه روی آن در نظر بگیرید. فاصلهٔ این نقطه تا مرکز دایره چقدر است؟
نتیجه: دایرهٔ $C(O, r)$ (بخوانید دایرهٔ $C$ به مرکز $O$ و به شعاع $r$) را در نظر بگیرید. هر نقطه که از نقطهٔ $O$ به فاصلهٔ $r$ باشد $\dots$ دایره قرار دارد و هر نقطه که $\dots$ از نقطهٔ $O$ به فاصلهٔ $r$ است $\dots$ دایره قرار دارد.
**فاصلهٔ نقطه تا مرکز دایره**: فاصلهٔ هر نقطهٔ روی دایره تا مرکز آن، برابر با **شعاع دایره** است. بنابراین، فاصلهٔ نقطهٔ دلخواه روی دایره‌ای به شعاع $2 \text{ سانتی‌متر}$ تا مرکز آن، برابر با **$2 \text{ سانتی‌متر}$** است.
**کامل کردن نتیجه**:
نتیجه: دایرهٔ $C(O, r)$ را در نظر بگیرید. هر نقطه که از نقطهٔ $O$ به فاصلهٔ $r$ باشد **روی** دایره قرار دارد و هر نقطه که **روی** دایره است، از نقطهٔ $O$ به فاصلهٔ $r$ است.
$$\text{فاصلهٔ نقطه تا مرکز}: 2 \text{ سانتی‌متر}$$
مانند آنچه برای نقاط روی دایره انجام داده شد، یک بار برای نقاط داخل دایره و یک بار برای نقاط بیرون دایره نتایج مشابهی به دست آورید.
دایرهٔ $C(O, r)$ را در نظر بگیرید. فاصلهٔ هر نقطه $P$ تا مرکز $O$ را $d(O, P)$ می‌نامیم.
**۱. برای نقاط داخل دایره**
نقاطی که در **داخل دایره** قرار دارند، نقاطی هستند که فاصلهٔ آن‌ها تا مرکز $O$ از شعاع $r$ **کوچکتر** است.
* **نتیجه**: هر نقطه $P$ که $d(O, P) < r$ باشد، **داخل دایره** قرار دارد و هر نقطه که داخل دایره است، $d(O, P) < r$.
**۲. برای نقاط بیرون دایره**
نقاطی که در **بیرون دایره** قرار دارند، نقاطی هستند که فاصلهٔ آن‌ها تا مرکز $O$ از شعاع $r$ **بزرگتر** است.
* **نتیجه**: هر نقطه $P$ که $d(O, P) > r$ باشد، **بیرون دایره** قرار دارد و هر نقطه که بیرون دایره است، $d(O, P) > r$.
خطی مانند $d$ در نظر بگیرید. تمام نقاطی را که به فاصلهٔ ثابت $2 \text{ سانتی‌متر}$ از خط $d$ هستند، مشخص کنید. این نقاط چه شکلی یا شکل‌هایی را تشکیل می‌دهند؟
مجموعهٔ تمام نقاط در صفحه که از یک خط ثابت ($d$) به فاصلهٔ ثابت ($2 \text{ سانتی‌متر}$) قرار دارند، دو خط موازی با خط $d$ را تشکیل می‌دهند.
**توضیح**:
* یک خط موازی در یک طرف خط $d$ به فاصلهٔ $2 \text{ سانتی‌متر}$.
* یک خط موازی در طرف دیگر خط $d$ به فاصلهٔ $2 \text{ سانتی‌متر}$.
$$\text{شکل حاصل}: \text{دو خط موازی با خط } d \text{، هر کدام به فاصلهٔ } 2 \text{ سانتی‌متر} \text{ از آن.}$$
نقطهٔ $P$ به فاصلهٔ $1 \text{ سانتی‌متر}$ از خط $d$ قرار دارد.
الف) تمام نقاطی را که به فاصلهٔ $2 \text{ سانتی‌متر}$ از نقطهٔ $P$ هستند، مشخص کنید.
ب) نقاطی از خط $d$ را که به فاصلهٔ $2 \text{ سانتی‌متر}$ از نقطهٔ $P$ هستند، مشخص کنید.
فاصلهٔ نقطهٔ $P$ تا خط $d$ برابر $1 \text{ سانتی‌متر}$ است ($d(P, d) = 1$).
**الف) تمام نقاط به فاصلهٔ $2 \text{ سانتی‌متر}$ از $P$**
مجموعهٔ تمام نقاطی که از یک نقطهٔ ثابت ($P$) به فاصلهٔ ثابت ($2 \text{ سانتی‌متر}$) قرار دارند، یک **دایره** است.
$$\text{شکل}: \text{دایره‌ای به مرکز } P \text{ و شعاع } 2 \text{ سانتی‌متر}$$
**ب) نقاطی از خط $d$ به فاصلهٔ $2 \text{ سانتی‌متر}$ از $P$**
این نقاط، در واقع **نقاط تقاطع** دایرهٔ مرکز $P$ و شعاع $2$ با خط $d$ هستند.
* فاصلهٔ مرکز دایره ($P$) تا خط ($d$) برابر $1$ است ($d(P, d) = 1$).
* شعاع دایره $r = 2$ است.
* چون $d(P, d) < r$ است ($1 < 2$)، دایره خط $d$ را در **دو نقطهٔ متمایز** قطع می‌کند.
$$\text{شکل}: \text{دو نقطهٔ متمایز روی خط } d$$
نقاط $A$ و $B$ را به فاصلهٔ $5 \text{ سانتی‌متر}$ از هم در نظر بگیرید. به مرکز $A$ و به شعاع $4 \text{ سانتی‌متر}$ کمانی رسم کنید و سپس به مرکز $B$ و به شعاع $3 \text{ سانتی‌متر}$ کمانی دیگر رسم کنید تا دو کمان یکدیگر را در تقاطعی مانند $X$ و $Y$ قطع کند.
الف) اندازهٔ اضلاع مثلث‌های $AXB$ و $AYB$ را مشخص کنید.
ب) توضیح دهید چگونه می‌توانید مثلثی به طول اضلاع داده شدهٔ $4$, $5$, و $7$ رسم کنید.
**الف) اندازهٔ اضلاع مثلث‌های $AXB$ و $AYB$**
نقاط $X$ و $Y$ بر روی دو کمان (دایره) قرار دارند.
* $X$ و $Y$ روی کمان مرکز $A$ به شعاع $4 \text{ سانتی‌متر}$ هستند $\Rightarrow AX = AY = 4 \text{ سانتی‌متر}$.
* $X$ و $Y$ روی کمان مرکز $B$ به شعاع $3 \text{ سانتی‌متر}$ هستند $\Rightarrow BX = BY = 3 \text{ سانتی‌متر}$.
* فاصلهٔ بین دو مرکز: $AB = 5 \text{ سانتی‌متر}$.
اضلاع $\triangle AXB$: $$AB = 5 \text{ cm}, \quad AX = 4 \text{ cm}, \quad BX = 3 \text{ cm}$$
اضلاع $\triangle AYB$: $$AB = 5 \text{ cm}, \quad AY = 4 \text{ cm}, \quad BY = 3 \text{ cm}$$
**ب) رسم مثلث به طول اضلاع $4$, $5$, و $7$**
رسم یک مثلث با طول اضلاع داده شده ($a, b, c$) با استفاده از خط‌کش و پرگار (همانند روش استفاده شده در قسمت الف) انجام می‌شود. برای طول‌های $4, 5, 7$:
**۱. رسم ضلع اول**: یک پاره‌خط به طول $5 \text{ سانتی‌متر}$ رسم کرده و نقاط انتهایی آن را $A$ و $B$ نام‌گذاری می‌کنیم. (این ضلع مبنای ما است).
**۲. رسم کمان اول**: پرگار را به اندازهٔ $4 \text{ سانتی‌متر}$ باز کرده و به مرکز $A$ کمانی رسم می‌کنیم (مجموعهٔ نقاطی که فاصلهٔ آن‌ها از $A$ برابر $4$ است).
**۳. رسم کمان دوم**: پرگار را به اندازهٔ $7 \text{ سانتی‌متر}$ باز کرده و به مرکز $B$ کمانی دیگر رسم می‌کنیم (مجموعهٔ نقاطی که فاصلهٔ آن‌ها از $B$ برابر $7$ است).
**۴. تعیین رأس سوم**: نقطهٔ تقاطع دو کمان را $C$ می‌نامیم. با وصل کردن $A$ به $C$ و $B$ به $C$، مثلث $ABC$ با طول اضلاع $AB=5$, $AC=4$ و $BC=7$ رسم می‌شود.
